“注意到……”

相信几乎所有学生，只要是参加过高考的，肯定被“注意到”这两个字折磨过，这两个字陪伴了无数学生因为学习数学而抓狂的晚上。往往有人会说：“真不知道那些学数学的脑子是怎么长的”，而下面往往好多数学专业的学生会跟着回复：“骗你的，学数学的也不会。”有人会调侃，这“注意到”的人可真是“注意力惊人”——其实，这就是所谓的“数感”好。

“注意到？”

当然，这里的数感肯定不是严格定义上的数感，这里的数感，讨论范围仅仅只是在应试方面，指代的更多是一种在复杂问题中提取出关键信息的能力。那么问题就出现了：明明都是“从问题中提取出关键信息”，为什么像语文这样的科目，我很容易就知道我要“注意”的内容是什么，但是我会觉得数学问题我“注意不到”我该“注意到的东西”呢？

抽象语言的“捉迷藏”

我们先来举一个例子： $定义：确定有限自动机是一个五元组其中：是有穷状态集；是有穷输入字母表；是转移函数；是初始状态；是终结状态集。$ 我相信很多人第一次看到这个定义的一瞬间，是两眼一发黑的，根本看不出来这是一个图的定义。如果说我把它转译成以下这段话 $本质上是一张有向图，是所有的节点，表示起点，表示所有可能的终点。该图的边上会标注一个字符，该字符表示从边的开始节点到结束节点需要接收的字符，而这条边就是。$ 是不是一下子就形象很多了？这就是数学相较于其它科目的一个特殊之处：数学对语言的描述要求是严谨和简洁，于是往往，数学语言的描述会出现为了严谨引入大量语句描述前提条件，导致让人抓不住重点和为了简洁引入大量数学符号，导致理解难度增加的同时，单语句信息量暴涨影响人理解吸收的问题。

想象一下，你这个学期几乎没有听过自动机理论课程的课堂讲解，现在还有一天就要考试了，老师划了重点说 DFA 是一个重要考点，是必考题——然后你看到了这样一个定义，是不是一下子就感觉难受起来了？然后你再看到你的室友，一个数感很好的室友，看到这个定义，一下子就看懂了它是什么意思，我想那种窒息感应该每个普通学生都能体验到。

这就是第一种“注意力惊人”，能够将极为抽象的数学符号转化为实际印象，甚至都不需要转化就可以理解的能力——这是人与人之间拉开差距的原因之一。

“隐身”的简单性质定理

举一个非常经典的例题：

$例题：设常数，已知极限：求的值。$

这道题，我想我这么给出解析的第一步，正在准备考研或者数学专业的人应该很快就能看懂： $注意到，，所以原式可以化简为，$ 没有考研或者考完研很久的人估计看完已经开始头疼了，这可真是“注意力惊人”，但实际上这就是一个奇函数的性质。好了，接下来可以洛或者泰勒展开了……吗？我们进入下一个“注意到”，这个“注意到”那更是注意力惊人： $显然，所以有$ 当然，如果任何考研的学生，你认为这个不是很显然，那么我帮你复习一下：

$定理：极限存在与分母无穷小的推论设其中且结论：证明思路：$

想起来了吗？如果你看出了上面的显然，那么恭喜你，你在这个定理上，你已经超过了很多考研目标院校是 211 的学生了——如果你加了任何一个考研数学的交流群，你几乎每个月都可以见到有人问这个定理相关的问题。

这个定理很简单吧？一下子就能看懂吧？但是就是想不起来——因为这种简单的，显而易见的定理在我们的大脑中“隐身”了，几乎所有学生的大脑里面，往往装的都是那些重要的计算公式，因为这些公式重要，因为这些公式在考试中一定会考到，这对于学生来说是明确的得分点。而学生会下意识认为，例如上文提到的推论这种简单的定理是不重要的，因为这些定理是很容易形象理解的，因为这些定理是不会作为题目的主体步骤的，这对于学生来说是没有性价比的，所以大脑忽略掉了这个“不重要的信息”。

你可以想象一下你教别人或者别人教你的时候，是不是经常会出现，说到后面的主体步骤，写得极为顺畅，丝毫不拖泥带水，而在如何进入这个主体步骤的过程，成为了卡住做题的绊脚石？

“注意到！”

诚然，所谓“数感”，确实是需要一定天赋的，但是就应试而言，这个数感，一定程度上是可以培养出来的。就像第一个例子，你只要学过，下一次看到这样的定义可以立即反应出来这代表了什么；就像第二个例子，正在准备考试的人一定比不需要考试的人熟悉。多数时候，数学专业学生口中的“我也不会”和普通学生的“我也不会”并不是同一个原因，数学专业学生口中的，那是真的不会，可能是一个没有接触过的定理，可能是一个证明过程极其简短的步骤；而普通学生口中的“我也不会”，往往是对定理的不熟悉，是基础的不扎实——看到和 ln 相乘，能立刻反应出这是“奇 × 偶 = 奇”；看到积分区间是对称的 [−x, x]，能立刻联想到“奇函数对称积分为 0”。，这一整个链条一断，一道简单的题都会变得非常复杂——你说没有接触过吗？我不相信这种定理在考研复习的时候没有接触过，不过是不熟悉罢了。

所以回到标题，“数感”在应试中的意义是什么，意义就是可以让你立刻抓住题目要说的重点，意义就是你可以立刻想到简便的方法——这就是你和其他人拉开差距的地方。

“注意到……？”

如果你是考研的学生，到这里就可以不用看了，接下来的内容是专门说给高考的学生听的，或者说，是专门来给某些人“泼冷水”的。

可能高考的学生，看完上面的文章，已经迫不及待地要去背洛必达做导数大题，去背和差化积公式做三角函数大题了，还请你稍等。

首先先自报家门，本人高考数学，浙江卷四舍五入后约 130 分，这个分数虽然不是顶尖，但应该也超过 95% 的高考学生了，卷面上就错了三道题——填空最后一题、大题最后两题。

下面这句话可能很难听，但是扪心自问一下——你前面的题目可以做全对吗？130 分的学生都做不明白后面的大题，你做的明白吗？高考简单题和中档题占了整整 80% ，你数学考不了高分是不会做那么几道难题的问题吗？

老师肯定不止一次说过：“基础题不要错，难题尽力做。”你们只是把后半句听进去没听前半句，而自动过滤了前半句，这是典型的捡了芝麻丢了西瓜。

你说你要背这种考纲以外的东西能加速你做题，是，确实可以。但是这和你简单题错了有什么关系呢？

有这点工夫钻研旁门左道，不如多巩固巩固基础，把高中范围内的“数感”练到极致，你打开参考答案一看，你能把所有的“注意到”看明白就不错了，难题？学有余力再说！

说到底，这是许多中等生的通病，也就是太过于执着所谓“考纲外的公式”。难题不会做不影响你考高分，但考纲外的公式学多了，只会让你把底层原理给忘掉，导致基础题频频失分。

大道至简，重剑无锋，望诸君共勉。