背景
在 B 站计算机图形学基础教程 GAMES101 中，闫令琪教授介绍了一个解决数值积分的重要方法——蒙特卡洛积分法。众所周知，计算机只能处理离散的、有限的运算，无法直接计算连续的、无穷的积分。而蒙特卡洛积分法恰恰为这一根本性问题提供了一个优雅的解决方案。
在课程中，闫教授简要介绍了概率论基础知识，并推导出了蒙特卡洛积分法在均匀分布下的基本结论。然而，限于课程时间和难度的考虑，他并未详细展开该方法的理论证明。本文将基于本科工科数学的知识背景，为读者详细推导蒙特卡洛积分法的数学原理，若有超过本科工科数学范围的不严谨性还请读者海涵。
背景知识条件
本文基于本科工科数学知识展开论述，读者需具备以下基础：
- 积分理论（参考：同济大学《高等数学》第七版上册）
- 初等概率论（参考：浙江大学《概率论与数理统计》第五版）
命题
设随机变量 $X$ 的连续概率密度函数为 $p(x)$，在取值范围内恒有 $p(x) > 0$，$f(x)$ 为定义在 $X$ 取值范围内的可积函数。若从分布 $p(x)$ 中独立抽取 $n$ 个样本 ${X_1,X_2,...,X_n}$，则：
$$\int_a^b f(x)dx = E[\frac{f(X)}{p(X)}] \approx \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{f(X_i)}{p(X_i)}$$
且当 $n \to \infty$ 时，近似等号变为等号。
证明
假定我们要计算的积分为：
$$I = \int_a^b f(x)dx$$
其中范围 $[a, b]$ 上对 $X$ 有 $P\{a \leq X \leq b\} = 1$且对于 $X$ 而言一定有 $$\int_a^b p(x)dx = 1$$
此时显然有 $p(x)$ 不恒等于 $0$，此时注意到
$$I = {\int_a^b \frac{f(x)}{p(x)} p(x)dx}$$
此时注意到 $$ I = E[\frac{f(X)}{p(X)}] $$
令 $Y = \frac{f(X)}{p(X)}$，则样本$Y_i = \frac{f(X_i)}{p(X_i)}$独立同分布，由于 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，且 $p(x)$ 为概率密度于 $[a, b]$ 可积，故 $E[\frac{f(X)}{p(X)}]$ 存在且有限，根据辛钦大数定律， $\overline{Y}$ 依概率收敛至 $EY$ ，即 $$ P\{\lim_{n \to \infty} |\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{f(X_i)}{p(X_i)} - E[\frac{f(X)}{p(X)}]| < \varepsilon\} = 1 $$
以上证明过程仅限本科阶段工科数学，若有不严谨之处还请海涵。
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